Download Algorithmes d’approximation by Vijay V. Vazirani PDF

By Vijay V. Vazirani

Le champ des algorithmes d'approximation est aujourd'hui l'un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Il allie l. a. profondeur de l. a. th?orie math?matique aux promesses d'applications pratiques d'un int?r?t consid?rable. l. a. plupart des probl?mes issus d'applications proper de domaines aussi diff?rents que los angeles perception de circuits VLSI, l. a. perception et l. a. planification de r?seaux, l'ordonnancement, los angeles th?orie des jeux, l. a. biologie ou l. a. th?orie des nombres, sont des probl?mes NP-difficiles. Leur r?solution exacte demanderait des ressources informatiques inaccessibles et ne peut donc ?tre envisag?e. Pour faire face ? cette scenario, un grand nombre d'algorithmes proposant des suggestions approch?es ? ces probl?mes ont ?t? d?velopp?s. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de los angeles derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d'?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? l. a. beaut? des r?sultats. Ce livre disclose ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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Example text

Donnez un algorithme pour colorier avec O( n) couleurs, un graphe coloriable avec trois couleurs. Indication : Pour tout sommet v, le graphe induit par ses voisins, N√ (v), est biparti, donc coloriable de fa¸con optimale. Si v est de degr´e > n, 7 8 Maximum directed cut, en anglais. Vertex coloring, en anglais. 2. Couverture par ensembles 25 coloriez v ∪ N (v) en utilisant trois couleurs√distinctes. Continuez jusqu’` a ce que tous les sommets soient de degr´e n. Puis, utilisez l’algorithme de la premi`ere partie.

Le fait fondamental est qu’aucun πi ne chevauche πi+2 dans s∗ . Car, par construction, le premier mot de (i + 2)-i`eme groupe ne chevauche pas le premier mot du (i + 1)-i`eme, dont la fin est positionn´ee, dans s∗ , apr`es celle du dernier mot du i-i`eme groupe. Ainsi, chaque symbole de s∗ est couvert par au plus deux des πi . Par cons´equent, OPTS i |πi | ≤ 2 · OPT. 2. Couverture par ensembles 23 La taille de l’ensemble univers de l’instance de couverture par ensembles S est n, le nombre de mots dans l’instance originale du surfacteur minimum.

D´emontrez qu’il s’agit d’une 1/2-approximation et donnez une famille d’instances critiques. Quel majorant de OPT utilisez-vous ? Donnez des exemples de graphes pour lesquels ce majorant vaut 2 · OPT. G´en´eralisez le probl`eme et l’algorithme au cas o` u il existe une fonction de poids sur les sommets. 2 Consid´erons l’algorithme suivant pour le probl`eme de la coupe maximum, ´ fond´e sur les techniques de recherche locale. Etant donn´e une partition de V en deux ensembles, chaque pas ´el´ementaire de l’algorithme, appel´e ´echange,6 consiste `a d´eplacer un sommet d’un cˆot´e `a l’autre de la partition.

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