Download Algebraische Grundlagen der Informatik: Zahlen — Strukturen by Kurt-Ulrich Witt PDF

By Kurt-Ulrich Witt

Warum beeintr?chtigen bestimmte Kratzer auf einer CD nicht die Wiedergabequalit?t? Wie k?nnen Daten?bertragungen gegen Informationsverlust gesichert werden? Warum und wie funktionieren ?ffentliche Verschl?sselungssysteme? Worin ist deren Sicherheit begr?ndet? Auf welcher Grundlage werden Routing-Tabellen in Netzwerkknoten erstellt? Wie wird eine optimale Kompression von Daten erreicht?
Diese und viele andere Fragen m?ssen zufriedenstellend beantwortet werden k?nnen, um bestimmte Qualit?ten von Informations- und Kommunikationstechnologien zu erreichen. Informatikerinnen und Informatiker aller Studienrichtungen m?ssen in der Lage sein, diese Technologien erfolgreich einzusetzen und weiterzuentwickeln. Dazu m?ssen sie die Grundlagen kennen, auf denen diese Technologien basieren.
Wesentliche Grundlagen liefert die Mathematik. Dieses Buch gibt eine Einf?hrung in Erkenntnisse und Konzepte der Algebra und der diskreten Mathematik, die f?r die Beantwortung obiger und weiterer Fragestellungen von Bedeutung sind. In shape von in sich geschlossenen Lektionen werden die mathematischen Begriffe schrittweise erarbeitet. So weit wie m?glich werden die Begriffe durch praktische Problemstellungen motiviert, sodann werden deren anwendungsrelevante Eigenschaften vorgestellt und begr?ndet sowie deren Einsatz an konkreten Beispielen gezeigt. Neben den mathematischen Grundlagen schult das Studium dieses Buches Abstraktionsverm?gen und Probleml?sef?higkeit, die zu unverzichtbaren Kompetenzen von Informatikerinnen und Informatikern geh?ren.

Durch seinen ausgezeichneten didaktischen Aufbau sowie durch viele Beispiele und ?bungsaufgaben mit vielen L?sungshinweisen ist das Buch sowohl als Begleitung zu entsprechenden Lehrveranstaltungen als auch zum Selbststudium sowie zu Pr?fungsvorbereitungen hervorragend geeignet.

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A heißt dicht bezüglich ~ genau dann, wenn "Ix, y E A mit x =I y und x ::; yein z E A existiert mit z =I x, z =I y sowie mit x ~ z und z ~ y. 0 Eine geordnete Menge ist also dicht, falls zwischen zwei Elementen dieser Menge immer noch ein drittes liegt. 6: a) (No,~) und (Z,~) sind nicht dicht, denn zwischen zwei benachbarten natürlichen (ganzen) Zahlen x und y = x + 1 liegt keine weitere natürliche (ganze) Zahl. b) Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) (Q,~) ist dicht. Betrachten wir z. B. a,b E Q mit a ~ bund a =I b, dann ist auch 1.

G+ E P(Z), aber G+ rt F(Z). 19: Es seien A und B zwei Mengen. a) Die Menge Au B = {x Ix E A V x E B}, welche alle Elemente von A und B enthält, heißt Vereinigung von A und B. b) Die Menge A n B = {x Ix E A 1\ x E B}, welche alle gemeinsamen Elemente von A und B enthält, heißt Durchschnitt (auch Schnittmenge) von A und B. c) Die Menge A - B = {x Ix E A 1\ x ~ B}, welche alle Elemente von A enthält, die nicht Element von B sind, heißt Differenz von A und B. d) Die Menge A e B = (A - B) U (B - A), welche alle Elemente von A enthält, die nicht Element von B sind, und alle Elemente von B enthält, die nicht Element von A sind, heißt symmetrische Differenz von A und B.

Ng9 ) V (y fj. ,a = ((x fj. Ng9 ) V eoo:+ x fj. No» (i fj. No) V (y fj. No» Da sowohl x fj. Ng 9 als auch y fj. No mit falsch zu bewerten sind, wird in beiden Disjunktionen der Wahrheitswert durch den jeweils verbleibenden Teilausdruck bestimmt, d. h. 4'F 0 beweisen. Dies tun wir direkt: lOOy +x 4 d 'F N 0 =? =? =? 3 +:: fj. No 4 25y +"4 fj. No x "4 fj. No Da jede Zahl z E No sich darstellen lässt als z ist die Behauptung bewiesen. 1) zugrunde. Um diesen Beweis zu führen, nehmen wir also sowohl die Voraussetzung a als auch die Negation der Folgerung ß, also ""ß, als wahr an und versuchen, daraus einen Widerspruch zu a zu folgern.

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