Download Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur by Jörg Bewersdorff PDF

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach speedy dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quick unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Ein Vergleich mit einer ähnlichen Erscheinung im Bereich der reellen Zahlen mag dies erläutern: Der Graph des als reellwertige Funktion aufgefassten Polynoms x3 – 2 verläuft im Koordinatensystem von „links unten“ nach „rechts oben“. Daher „muss“ er die x-Achse zwangsläufig an mindestens einer Stelle schneiden. Das heißt, das untersuchte Polynom – und entsprechend jedes andere Polynom mit ungeradem Grad – hat mindestens eine Nullstelle. Was so einfach und selbstverständlich aussieht, ist in der Infinitesimalrechnung Gegenstand sehr grundlegender Überlegungen, die im so genannten Zwischenwertsatz ihre Zusammenfassung finden.

Ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra basiert nun abgesehen von der Stetigkeit polynomialer Funktionen auf den beiden entscheidenden Eigenschaften der komplexen Zahlen, nämlich der Vollständigkeit genannten „Lückenlosigkeit“ sowie der Existenz einer Zahl i, welche die Gleichung i2 = –1 erfüllt. Im Kasten „Der Fundamentalsatz der Algebra: Plausibilität und Beweis“ (siehe Seite 34) wird sowohl eine Plausibilitätsbetrachtung als auch die Skizze eines exakten Beweises beschrieben. Der Fundamentalsatz der Algebra: Plausibilität und Beweis Wie im Haupttext dargelegt, reicht es, die folgende Aussage zu beweisen: SATZ.

Bombelli kommentierte: „Ein ausschweifender Gedanke nach Meinung vieler. Ich selbst war lange Zeit der gleichen Ansicht. Die Sache schien mir auf Sophismen mehr als auf Wahrheit zu beruhen, aber ich suchte so lange, bis ich den Beweis fand“15. Die gewagten Berechnungen hatten damit eine Erklärung für ein bereits vorher bekanntes Ergebnis geliefert, so wie es entwicklungsgeschichtlich sicher ähnlich der Fall gewesen sein dürfte, als negative Zahlen erstmals als zweckmäßige Erweiterung des Zahlbereichs in Betracht gezogen wurden.

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